Blog de jpd

Maintenant que vous avez tous bien compris ce qu\'est une représentation de groupe, je vais devoir vous traumatiser encore un peu avant de pouvoir parler des applications en physique de cette belle théorie. Il va falloir parler des représentations projectives, puisque ce sont celles-là qui sont importantes en physique. Et pour comprendre ce qu\'est une représentation projective, il faut parler des espaces projectifs (bon, pour être franc, ce n\'est pas absolument indispensable, mais c\'est quand même le cadre le plus naturel).

Espaces projectifs

Bien bien, pour commencer, il faut se munir de son espace vectoriel favori, peu importe lequel. Personnellement, j\'ai un petit faible pour [tex]$\\mathbf{R}^{42}$[/tex], mais chacun fait comme il veut bien sûr. Dans cet espace, on peut définir la notion de droite (et on est tellement motivé qu\'on va le faire !).

Rappelons-nous ce qu\'est une droite, version « pour les petits ». Une manière de définir la droite est la suivante : donnons-nous deux points [tex]$A$[/tex] et [tex]$B$[/tex]. Ces deux points définissent un vecteur, le vecteur... [tex]$\\overrightarrow{AB}$[/tex]. Alors la droite [tex]$AB$[/tex] est l\'ensemble des extrémités des vecteurs partant de [tex]$A$[/tex] et colinéaires à [tex]$\\overrightarrow{AB}$[/tex]. J\'espère que je ne vous apprends rien (tout au plus que je vous rappelle une définition), et que ça vous paraît évident. Lorsqu\'on passe dans un espace vectoriel, on perd bien sûr cette notion d\'extrémités d\'un vecteur, et il ne reste plus que... les vecteurs. Bien vu Sherlock. On va du coup légèrement adapter notre définition (ou caractérisation d\'une droite), de la manière la plus naturelle qui soit : une droite d\'un espace vectoriel passant par un vecteur [tex]$\\vec u$[/tex] est l\'ensemble des vecteurs colinéaires à [tex]$\\vec u$[/tex], c\'est-à-dire l\'ensemble des éléments de la forme [tex]$\\lambda \\vec u$[/tex] où [tex]$\\lambda$[/tex] est un scalaire (un élément du corps de l\'espace vectoriel, pour ceux qui s\'en rappellent). Bien sûr, on va exclure la possibilité que [tex]$\\vec u$[/tex] soit le vecteur nul, qui présente assez peu d\'intérêt. Quant à l\'espace projectif, c\'est tout simplement l\'ensemble dont les éléments sont constitués par ces droites ! J\'insiste : un élément de l\'espace projectif, c\'est une droite, et une droite, c\'est un ensemble de vecteurs. Se donner un vecteur, c\'est se donner une notion de direction et de longueur. Si on considère une droite, c\'est un ensemble de vecteurs colinéaires : on a donc conservé la notion de direction, mais on a perdu la notion de distance. Finalement, l\'espace projectif, c\'est l\'ensemble des directions de l\'espace vectoriel initial.

Avant de définir l\'espace d\'une manière un peu plus formelle, je mentionnerai que cet espace est assez naturel dans un certain nombre de situations. L\'une d\'entre elle concerne les arts graphiques, puisqu\'un espace projectif est une manière mathématique de traiter la notion de perspective. Après tout, la vision d\'un de notre œil consiste essentiellement à donner une information de positionnement des objets environnants ; par positionnement, j\'entends une direction dans l\'espace. L\'œil est incapable, seul, de donner une information de distance. À ma connaissance (je ne suis pas un spécialiste), deux phénomènes peuvent participer à donner une impression de distance. La première est bien sûr la vue stéréographique, c\'est à dire à partir de deux yeux : en connaissant les directions spatiales d\'un point à partir de deux positions spatiales distinctes, on est capable de reconstruire sa position en s\'intéressant à l\'intersection des deux droites, passant par chaque œil et dont l\'orientation est connue par hypothèse.  Le cinéma « en relief », quel que soit sa technologie, repose sur ce principe : fournir à chaque œil une image différente qui correspond à ce que chaque œil verrait. Le cerveau n\'y voit que du feu (surtout si c\'est un film de guerre), et nous donne cette impression de relief. Le deuxième phénomène que j\'évoquais est en fait un peu une arnaque : on est capable d\'estimer une distance (en fait, une distance relative) en évaluant son diamètre apparent. En gros, l\'idée est par exemple qu\'on connaît la taille d\'un être humain, ainsi, si on dans la rue on ferme un œil, et si on voit une personne bien plus petite qu\'une autre, on saura que la personne la plus petite est la plus lointaine. C\'est donc plus l\'habitude de la taille des objets qui permet dans ce cas de les situer les uns par rapport aux autres, et d\'un point de vue « bio-mathématique », un seul œil est insuffisant à évaluer les distances, car un œil associe un objet (qu\'on suppose ponctuel) à... un élément d\'un espace projectif (vous avez vu comme on retombe sur nos pattes ? formidable !).

Un autre exemple reposant sur ce principe, et qui souffre peut-être encore plus de cette limitation, est l\'observation astronomique : si la Terre était fixe, il ne serait pas possible d\'estimer la distance la séparant des étoiles (du moins, par une méthode géométrique ; je ne sais pas s\'il en existe d\'autres vraiment efficaces). On utilise le fait que la Terre se déplace par rapport au Soleil pour mesurer des positions (en fait, les directions) à six mois d\'intervalle, et on a ainsi simulé une observation avec nos deux yeux ! Bien sûr, on suppose que l\'astre observé n\'a pas ou peu bougé, etc.

Avant de continuer, j\'avais parlé d\'une autre définition des espaces projectifs, peut-être un peu plus compliqué, mais d\'une portée plus générale, en ce sens qu\'elle utilise la procédure de quotient d\'un espace, procédure absolument fondamentale et omniprésente en mathématiques (quoique souvent cachée).

Lorsqu\'on se donne un ensemble (quelconque à ce stade), on peut construire un certain nombre de relations entre ses éléments. Parmi les relations les plus courantes, on a d\'une part les relations d\'ordre, et d\'autre part les relations d\'équivalence. Ce sont ces dernières qui vont nous intéresser, je n\'en rappellerai pas la définition. Lorsqu\'on a muni un ensemble d\'une relation d\'équivalence, on peut toujours s\'intéresser à l\'ensemble des classes d\'équivalences liées à la relation. Cet ensemble s\'appelle l\'ensemble quotient.

Dans le cas qui nous (m\')intéresse, la relation qu\'on pose sur notre [tex]$\\mathbf{K}$[/tex]-espace vectoriel,  [tex]$\\mathbf{K}= \\mathbf{R}$[/tex] ou [tex]$\\mathbf{C}$[/tex] est

[tex]$\\vec u \\sim \\vec v \\quad \\leftrightarrow \\quad \\exists \\lambda \\in \\mathbf{K}\\setminus \\{0\\}, \\vec u = \\lambda \\vec v$[/tex]

et l\'espace projectif est dont le quotient, qu\'on note

[tex]$ P\\mathbf{K}^n = (\\mathbf{R}^{n+1} \\setminus \\{0\\}) / \\sim$[/tex]

En quotientant, on perd une dimension d\'espace (intuitivement, on perd la notion de distance), d\'où les puissances [tex]$n$[/tex] et [tex]$n+1$[/tex] dans la définition. Pour être rigoureux, ce sont les dimensions en tant que variété, mais je ne veux pas m\'embarquer là-dedans (en tout cas pas maintenant).

On notera [tex]$[\\vec u]$[/tex] un élément de [tex]$P\\mathbf{K}^n$[/tex], qui est la classe d\'équivalence de [tex]$\\vec u$[/tex]. En outre, [tex]$\\lambda \\vec u$[/tex] est dans la même classe d\'équivalence que [tex]$\\vec u$[/tex] ; ainsi, [tex]$[\\lambda \\vec u] = [\\vec u]$[/tex].

Une autre remarque sur laquelle je souhaite insister et la suivante : aucune condition particulière sur l\'espace vectoriel n\'a été imposée. À partir d\'un espace vectoriel quelconque, on peut toujours définir l\'espace projectif qui lui est associé.

Il est maintenant temps de parler de ce qui se passe pour les applications.

Applications projectives

Soient deux espaces vectoriels [tex]$E$[/tex] et [tex]$F$[/tex] quelconques, et soit une application linéaire [tex]$f : E \\rightarrow F$[/tex]. La question que l\'on se pose et de savoir si il existe une application naturellement déduite de [tex]$f$[/tex] qui relierait les espaces projectifs associés aux espaces initiaux.

La réponse est bien sûr oui, mais il convient de faire un tout petit peu attention. Tout d\'abord, remarquons que l\'image par [tex]$f$[/tex] d\'une droite de [tex]$E$[/tex] et qui n\'est pas contenue dans [tex]$\\mathop\\mathrm{Ker}f$[/tex] est une droite de [tex]$F$[/tex]. Cette proposition est évidente, car c\'est la définition d\'une application linéaire : [tex]$f(\\lambda \\vec u) = \\lambda f(\\vec u)$[/tex], donc pourvu que [tex]$ f(\\vec u)$[/tex] ne soit pas nul, on obtient bien une droite en prenant tous les [tex]$\\lambda$[/tex] possibles. On va montrer que [tex]$f$[/tex] induit bien (« par passage au quotient », dans le jargon) une application, notée [tex]$[f]$[/tex], de [tex]$PE\\setminus P\\mathop\\mathrm{Ker}f$[/tex] dans [tex]$PF$[/tex], les espaces projectifs. Les espaces projectifs sont, je le rappelle, constitués d\'ensembles de vecteurs. Disposant d\'une application [tex]$f$[/tex] associant un vecteur de [tex]$E$[/tex] à un vecteur de [tex]$F$[/tex], le plus naturel (pour ne pas dire la seule chose possible) consiste à définir [tex]$[f]$[/tex] de la manière suivante : je considère un élément de [tex]$PE$[/tex] ; cet élément est une classe d\'équivalence de vecteurs, donc c\'est en particulier un ensemble qui contient des vecteurs (tous équivalents). J\'en choisis un au hasard ; cet élément, c\'est bien sûr un vecteur, donc je peux lui appliquer la fonction [tex]$f$[/tex]. J\'obtiens un autre vecteur, dans [tex]$F$[/tex]. À partir de [tex]$F$[/tex], je sais définir un élément de [tex]$PF $[/tex] : il suffit que je prenne sa classe d\'équivalence ! Tout ce petit raisonnement se symbolise de la manière suivante (je rappelle que les crochets symbolisent les objets qui ont un lien avec l\'espace projectif) :

[tex]$[f]([\\vec u]) = [f(\\vec u)]$[/tex] .

Bien sûr, il y a quelque chose qui j\'espère vous aura perturbé dans ce que je fais : j\'ai explicitement choisi un représentant de ma classe d\'équivalence. Que se serait-il passé si j\'en avais choisi un autre ? Il est nécessaire de vérifier que ma définition est bien indépendante du représentant choisi. Cette manière de procéder est extrêmement courante dès qu\'il s\'agit de travailler avec des espaces quotients : en général, on ne sait jamais travailler directement sur ces espaces, et on calcule « explicitement » en prenant un élément des espaces non quotientés, on calcule, et on vérifie que le résultat aurait été le même en prenant un élément équivalent (au sens de la relation d\'équivalence) à celui choisi.

Mais vous connaissez bien sûr tout cela : que je calcule avec [tex]$\\frac53$[/tex] ou [tex]$\\frac{15}{9}$[/tex], le résultat est bien sûr le même ! Les rationnels sont effectivement construits à partir des entiers relatifs, en quotientant [tex]$\\mathbf{Z}\\times \\mathbf{Z}^\\ast$[/tex] par la relation

[tex]$(a,b) \\sim (c,d) \\quad \\Leftrightarrow \\quad a\\cdot d = b \\cdot c$[/tex]

Et on note en général [tex]$(a,b) \\equiv \\frac{a}{b}$[/tex]...

Bref, revenons à nos applications ; on exige que notre définition ne dépende pas du représentant choisi au sein de notre classe d\'équivalence. Puisque de manière générale, deux éléments au sein d\'une même classe s\'écrivent [tex]$\\vec u$[/tex] et [tex]$\\lambda \\vec u$[/tex], on souhaite montrer

[tex]$[f]([\\vec u]) = [f]([\\lambda \\vec u])$[/tex] .

La démonstration n\'est pas compliquée, il suffit d\'être soigneux dans les objets qu\'on manipule :

[tex]$[f]([\\vec u]) = [f(\\vec u)] = [\\lambda f(\\vec u)] = [f(\\lambda \\vec u)] = [f]([\\lambda \\vec u])$[/tex] .

La première égalité vient de notre définition de [tex]$[f]$[/tex] ; la deuxième, car on se place dans l\'espace projectif [tex]$PF$[/tex] ; la troisième, car [tex]$f$[/tex] est une application linéaire ; enfin, la dernière vient de la définition de [tex]$[f]$[/tex] appliquée à l\'élément [tex]$\\lambda \\vec u$[/tex].

Au passage, on constate que la troisième égalité pourrait aussi s\'écrire

[tex]$[\\lambda f(\\vec u)] = [\\lambda f]([\\vec u])$[/tex] .

Grâce à cette petite remarque, on vient de prouver que [tex]$[f] = [\\lambda f]$[/tex], c\'est-à-dire que deux applications linéaires proportionnelles ont même image. Autrement dit, on peut aussi définir l\'espace projectif associé aux applications linéaires (eh oui ! c\'est aussi un espace vectoriel !), et tout se passe comme on le souhaite ! La relation de proportionnalité s\'interprète dans ce cas comme la composition avec une application du type [tex]$\\lambda \\mathrm{Id}$[/tex], c\'est-à-dire les homothéties.

Particularisons maintenant un peu la situation. On suppose [tex]$E=F$[/tex], et on s\'intéresse aux applications projectives bijectives de [tex]$PE$[/tex] dans lui-même. Ces applications forment un groupe pour la loi de composition : l\'élément neutre est l\'identité, est l\'existence de l\'inverse est assuré par l\'exigence d\'applications bijectives. Ce groupe est appelé groupe projectif linéaire, [tex]$PGL(E)$[/tex].

Ainsi, deux applications projectives seront considérées égales (équivalentes...) si on peut passer de l\'une à l\'autre par une simple multiplication globale.

Représentations projectives

Rappelez-vous : on avait défini une représentation d\'un groupe [tex]$G$[/tex] comme un morphisme de [tex]$G$[/tex] dans [tex]$GL(E)$[/tex], avec [tex]$E$[/tex] un espace vectoriel a priori à déterminer (et jamais unique). Bon, je ne vais pas faire durer l\'absence de suspens plus longtemps : une représentation projective, c\'est un morphisme de [tex]$G$[/tex] dans un certain [tex]$PGL(V)$[/tex].

Ah. Tout ça pour ça... Oui, c\'est un peu fastidieux, mais c\'est nécessaire pour comprendre vraiment et correctement la manière dont les représentations interviennent en physique (quantique). Bien sûr, vous n\'avez peut-être pas envie de le savoir, mais si déjà vous êtes arrivés jusqu\'ici, je suppose que vous êtes un tant soit peu intéressés !

Supposons qu\'on ait une représentation (linéaire, par opposition à projective) d\'un groupe [tex]$G$[/tex]. Alors il est extrêmement facile d\'en fabriquer une représentation projective : comme on a vu, passer d\'une application [tex]$f$[/tex] à une application [tex]$[f]$[/tex] est chose aisée.

Le contraire, en revanche, est bien plus compliqué, à savoir la question : recherchant des représentations projectives d\'un certain groupe, puis-je trouver des représentations linéaires dont elles découlent, éventuellement représentations d\'un autre groupe ? Évidemment, cette question n\'est pas gratuite, et c\'est précisément une question qui se pose en physique et qui explique la notion de spin d\'une particule.

Initialement, je comptais répondre rapidement à cette question à la fin de ce billet, mais afin d\'épargner mes lecteurs (enfin, ceux qui ne sont pas morts en cours de route), et dont je n\'ose imaginer l\'état à ce stade, je préfère y répondre dans un autre article, le dernier avant d\'expliquer l\'origine du spin (mais je n\'ose plus rien promettre...).

(suite de Savez-vous calculer ?)

Maintenant que vous avez tous bien compris ce qu\'est une représentation de groupe, je vais devoir vous traumatiser encore un peu avant de pouvoir parler des applications en physique de cette belle théorie. Il va falloir parler des représentations projectives, puisque ce sont celles-là qui sont importantes en physique. Et pour comprendre ce qu\'est une représentation projective, il faut parler des espaces projectifs (bon, pour être franc, ce n\'est pas absolument indispensable, mais c\'est quand même le cadre le plus naturel).

Espaces projectifs

Bien bien, pour commencer, il faut se munir de son espace vectoriel favori, peu importe lequel. Personnellement, j\'ai un petit faible pour [tex]$\\mathbf{R}^{42}$[/tex], mais chacun fait comme il veut bien sûr. Dans cet espace, on peut définir la notion de droite (et on est tellement motivé qu\'on va le faire !).

Rappelons-nous ce qu\'est une droite, version « pour les petits ». Une manière de définir la droite est la suivante : donnons-nous deux points [tex]$A$[/tex] et [tex]$B$[/tex]. Ces deux points définissent un vecteur, le vecteur... [tex]$\\overrightarrow{AB}$[/tex]. Alors la droite [tex]$AB$[/tex] est l\'ensemble des extrémités des vecteurs partant de [tex]$A$[/tex] et colinéaires à [tex]$\\overrightarrow{AB}$[/tex]. J\'espère que je ne vous apprends rien (tout au plus que je vous rappelle une définition), et que ça vous paraît évident. Lorsqu\'on passe dans un espace vectoriel, on perd bien sûr cette notion d\'extrémités d\'un vecteur, et il ne reste plus que... les vecteurs. Bien vu Sherlock. On va du coup légèrement adapter notre définition (ou caractérisation d\'une droite), de la manière la plus naturelle qui soit : une droite d\'un espace vectoriel passant par un vecteur [tex]$\\vec u$[/tex] est l\'ensemble des vecteurs colinéaires à [tex]$\\vec u$[/tex], c\'est-à-dire l\'ensemble des éléments de la forme [tex]$\\lambda \\vec u$[/tex] où [tex]$\\lambda$[/tex] est un scalaire (un élément du corps de l\'espace vectoriel, pour ceux qui s\'en rappellent). Bien sûr, on va exclure la possibilité que [tex]$\\vec u$[/tex] soit le vecteur nul, qui présente assez peu d\'intérêt. Quant à l\'espace projectif, c\'est tout simplement l\'ensemble dont les éléments sont constitués par ces droites ! J\'insiste : un élément de l\'espace projectif, c\'est une droite, et une droite, c\'est un ensemble de vecteurs. Se donner un vecteur, c\'est se donner une notion de direction et de longueur. Si on considère une droite, c\'est un ensemble de vecteurs colinéaires : on a donc conservé la notion de direction, mais on a perdu la notion de distance. Finalement, l\'espace projectif, c\'est l\'ensemble des directions de l\'espace vectoriel initial.

Avant de définir l\'espace d\'une manière un peu plus formelle, je mentionnerai que cet espace est assez naturel dans un certain nombre de situations. L\'une d\'entre elle concerne les arts graphiques, puisqu\'un espace projectif est une manière mathématique de traiter la notion de perspective. Après tout, la vision d\'un de notre œil consiste essentiellement à donner une information de positionnement des objets environnants ; par positionnement, j\'entends une direction dans l\'espace. L\'œil est incapable, seul, de donner une information de distance. À ma connaissance (je ne suis pas un spécialiste), deux phénomènes peuvent participer à donner une impression de distance. La première est bien sûr la vue stéréographique, c\'est à dire à partir de deux yeux : en connaissant les directions spatiales d\'un point à partir de deux positions spatiales distinctes, on est capable de reconstruire sa position en s\'intéressant à l\'intersection des deux droites, passant par chaque œil et dont l\'orientation est connue par hypothèse.  Le cinéma « en relief », quel que soit sa technologie, repose sur ce principe : fournir à chaque œil une image différente qui correspond à ce que chaque œil verrait. Le cerveau n\'y voit que du feu (surtout si c\'est un film de guerre), et nous donne cette impression de relief. Le deuxième phénomène que j\'évoquais est en fait un peu une arnaque : on est capable d\'estimer une distance (en fait, une distance relative) en évaluant son diamètre apparent. En gros, l\'idée est par exemple qu\'on connaît la taille d\'un être humain, ainsi, si on dans la rue on ferme un œil, et si on voit une personne bien plus petite qu\'une autre, on saura que la personne la plus petite est la plus lointaine. C\'est donc plus l\'habitude de la taille des objets qui permet dans ce cas de les situer les uns par rapport aux autres, et d\'un point de vue « bio-mathématique », un seul œil est insuffisant à évaluer les distances, car un œil associe un objet (qu\'on suppose ponctuel) à... un élément d\'un espace projectif (vous avez vu comme on retombe sur nos pattes ? formidable !).

Un autre exemple reposant sur ce principe, et qui souffre peut-être encore plus de cette limitation, est l\'observation astronomique : si la Terre était fixe, il ne serait pas possible d\'estimer la distance la séparant des étoiles (du moins, par une méthode géométrique ; je ne sais pas s\'il en existe d\'autres vraiment efficaces). On utilise le fait que la Terre se déplace par rapport au Soleil pour mesurer des positions (en fait, les directions) à six mois d\'intervalle, et on a ainsi simulé une observation avec nos deux yeux ! Bien sûr, on suppose que l\'astre observé n\'a pas ou peu bougé, etc.

Avant de continuer, j\'avais parlé d\'une autre définition des espaces projectifs, peut-être un peu plus compliqué, mais d\'une portée plus générale, en ce sens qu\'elle utilise la procédure de quotient d\'un espace, procédure absolument fondamentale et omniprésente en mathématiques (quoique souvent cachée).

Lorsqu\'on se donne un ensemble (quelconque à ce stade), on peut construire un certain nombre de relations entre ses éléments. Parmi les relations les plus courantes, on a d\'une part les relations d\'ordre, et d\'autre part les relations d\'équivalence. Ce sont ces dernières qui vont nous intéresser, je n\'en rappellerai pas la définition. Lorsqu\'on a muni un ensemble d\'une relation d\'équivalence, on peut toujours s\'intéresser à l\'ensemble des classes d\'équivalences liées à la relation. Cet ensemble s\'appelle l\'ensemble quotient.

Dans le cas qui nous (m\')intéresse, la relation qu\'on pose sur notre [tex]$\\mathbf{K}$[/tex]-espace vectoriel,  [tex]$\\mathbf{K}= \\mathbf{R}$[/tex] ou [tex]$\\mathbf{C}$[/tex] est

[tex]$\\vec u \\sim \\vec v \\quad \\leftrightarrow \\quad \\exists \\lambda \\in \\mathbf{K}\\setminus \\{0\\}, \\vec u = \\lambda \\vec v$[/tex]

et l\'espace projectif est dont le quotient, qu\'on note

[tex]$ P\\mathbf{K}^n = (\\mathbf{R}^{n+1} \\setminus \\{0\\}) / \\sim$[/tex]

En quotientant, on perd une dimension d\'espace (intuitivement, on perd la notion de distance), d\'où les puissances [tex]$n$[/tex] et [tex]$n+1$[/tex] dans la définition. Pour être rigoureux, ce sont les dimensions en tant que variété, mais je ne veux pas m\'embarquer là-dedans (en tout cas pas maintenant).

On notera [tex]$[\\vec u]$[/tex] un élément de [tex]$P\\mathbf{K}^n$[/tex], qui est la classe d\'équivalence de [tex]$\\vec u$[/tex]. En outre, [tex]$\\lambda \\vec u$[/tex] est dans la même classe d\'équivalence que [tex]$\\vec u$[/tex] ; ainsi, [tex]$[\\lambda \\vec u] = [\\vec u]$[/tex].

Une autre remarque sur laquelle je souhaite insister et la suivante : aucune condition particulière sur l\'espace vectoriel n\'a été imposée. À partir d\'un espace vectoriel quelconque, on peut toujours définir l\'espace projectif qui lui est associé.

Il est maintenant temps de parler de ce qui se passe pour les applications.

Applications projectives

Soient deux espaces vectoriels [tex]$E$[/tex] et [tex]$F$[/tex] quelconques, et soit une application linéaire [tex]$f : E \\rightarrow F$[/tex]. La question que l\'on se pose et de savoir si il existe une application naturellement déduite de [tex]$f$[/tex] qui relierait les espaces projectifs associés aux espaces initiaux.

La réponse est bien sûr oui, mais il convient de faire un tout petit peu attention. Tout d\'abord, remarquons que l\'image par [tex]$f$[/tex] d\'une droite de [tex]$E$[/tex] et qui n\'est pas contenue dans [tex]$\\mathop\\mathrm{Ker}f$[/tex] est une droite de [tex]$F$[/tex]. Cette proposition est évidente, car c\'est la définition d\'une application linéaire : [tex]$f(\\lambda \\vec u) = \\lambda f(\\vec u)$[/tex], donc pourvu que [tex]$ f(\\vec u)$[/tex] ne soit pas nul, on obtient bien une droite en prenant tous les [tex]$\\lambda$[/tex] possibles. On va montrer que [tex]$f$[/tex] induit bien (« par passage au quotient », dans le jargon) une application, notée [tex]$[f]$[/tex], de [tex]$PE\\setminus P\\mathop\\mathrm{Ker}f$[/tex] dans [tex]$PF$[/tex], les espaces projectifs. Les espaces projectifs sont, je le rappelle, constitués d\'ensembles de vecteurs. Disposant d\'une application [tex]$f$[/tex] associant un vecteur de [tex]$E$[/tex] à un vecteur de [tex]$F$[/tex], le plus naturel (pour ne pas dire la seule chose possible) consiste à définir [tex]$[f]$[/tex] de la manière suivante : je considère un élément de [tex]$PE$[/tex] ; cet élément est une classe d\'équivalence de vecteurs, donc c\'est en particulier un ensemble qui contient des vecteurs (tous équivalents). J\'en choisis un au hasard ; cet élément, c\'est bien sûr un vecteur, donc je peux lui appliquer la fonction [tex]$f$[/tex]. J\'obtiens un autre vecteur, dans [tex]$F$[/tex]. À partir de [tex]$F$[/tex], je sais définir un élément de [tex]$PF $[/tex] : il suffit que je prenne sa classe d\'équivalence ! Tout ce petit raisonnement se symbolise de la manière suivante (je rappelle que les crochets symbolisent les objets qui ont un lien avec l\'espace projectif) :

[tex]$[f]([\\vec u]) = [f(\\vec u)]$[/tex] .

Bien sûr, il y a quelque chose qui j\'espère vous aura perturbé dans ce que je fais : j\'ai explicitement choisi un représentant de ma classe d\'équivalence. Que se serait-il passé si j\'en avais choisi un autre ? Il est nécessaire de vérifier que ma définition est bien indépendante du représentant choisi. Cette manière de procéder est extrêmement courante dès qu\'il s\'agit de travailler avec des espaces quotients : en général, on ne sait jamais travailler directement sur ces espaces, et on calcule « explicitement » en prenant un élément des espaces non quotientés, on calcule, et on vérifie que le résultat aurait été le même en prenant un élément équivalent (au sens de la relation d\'équivalence) à celui choisi.

Mais vous connaissez bien sûr tout cela : que je calcule avec [tex]$\\frac53$[/tex] ou [tex]$\\frac{15}{9}$[/tex], le résultat est bien sûr le même ! Les rationnels sont effectivement construits à partir des entiers relatifs, en quotientant [tex]$\\mathbf{Z}\\times \\mathbf{Z}^\\ast$[/tex] par la relation

[tex]$(a,b) \\sim (c,d) \\quad \\Leftrightarrow \\quad a\\cdot d = b \\cdot c$[/tex]

Et on note en général [tex]$(a,b) \\equiv \\frac{a}{b}$[/tex]...

Bref, revenons à nos applications ; on exige que notre définition ne dépende pas du représentant choisi au sein de notre classe d\'équivalence. Puisque de manière générale, deux éléments au sein d\'une même classe s\'écrivent [tex]$\\vec u$[/tex] et [tex]$\\lambda \\vec u$[/tex], on souhaite montrer

[tex]$[f]([\\vec u]) = [f]([\\lambda \\vec u])$[/tex] .

La démonstration n\'est pas compliquée, il suffit d\'être soigneux dans les objets qu\'on manipule :

[tex]$[f]([\\vec u]) = [f(\\vec u)] = [\\lambda f(\\vec u)] = [f(\\lambda \\vec u)] = [f]([\\lambda \\vec u])$[/tex] .

La première égalité vient de notre définition de [tex]$[f]$[/tex] ; la deuxième, car on se place dans l\'espace projectif [tex]$PF$[/tex] ; la troisième, car [tex]$f$[/tex] est une application linéaire ; enfin, la dernière vient de la définition de [tex]$[f]$[/tex] appliquée à l\'élément [tex]$\\lambda \\vec u$[/tex].

Au passage, on constate que la troisième égalité pourrait aussi s\'écrire

[tex]$[\\lambda f(\\vec u)] = [\\lambda f]([\\vec u])$[/tex] .

Grâce à cette petite remarque, on vient de prouver que [tex]$[f] = [\\lambda f]$[/tex], c\'est-à-dire que deux applications linéaires proportionnelles ont même image. Autrement dit, on peut aussi définir l\'espace projectif associé aux applications linéaires (eh oui ! c\'est aussi un espace vectoriel !), et tout se passe comme on le souhaite ! La relation de proportionnalité s\'interprète dans ce cas comme la composition avec une application du type [tex]$\\lambda \\mathrm{Id}$[/tex], c\'est-à-dire les homothéties.

Particularisons maintenant un peu la situation. On suppose [tex]$E=F$[/tex], et on s\'intéresse aux applications projectives bijectives de [tex]$PE$[/tex] dans lui-même. Ces applications forment un groupe pour la loi de composition : l\'élément neutre est l\'identité, est l\'existence de l\'inverse est assuré par l\'exigence d\'applications bijectives. Ce groupe est appelé groupe projectif linéaire, [tex]$PGL(E)$[/tex].

Ainsi, deux applications projectives seront considérées égales (équivalentes...) si on peut passer de l\'une à l\'autre par une simple multiplication globale.

Représentations projectives

Rappelez-vous : on avait défini une représentation d\'un groupe [tex]$G$[/tex] comme un morphisme de [tex]$G$[/tex] dans [tex]$GL(E)$[/tex], avec [tex]$E$[/tex] un espace vectoriel a priori à déterminer (et jamais unique). Bon, je ne vais pas faire durer l\'absence de suspens plus longtemps : une représentation projective, c\'est un morphisme de [tex]$G$[/tex] dans un certain [tex]$PGL(V)$[/tex].

Ah. Tout ça pour ça... Oui, c\'est un peu fastidieux, mais c\'est nécessaire pour comprendre vraiment et correctement la manière dont les représentations interviennent en physique (quantique). Bien sûr, vous n\'avez peut-être pas envie de le savoir, mais si déjà vous êtes arrivés jusqu\'ici, je suppose que vous êtes un tant soit peu intéressés !

Supposons qu\'on ait une représentation (linéaire, par opposition à projective) d\'un groupe [tex]$G$[/tex]. Alors il est extrêmement facile d\'en fabriquer une représentation projective : comme on a vu, passer d\'une application [tex]$f$[/tex] à une application [tex]$[f]$[/tex] est chose aisée.

Le contraire, en revanche, est bien plus compliqué, à savoir la question : recherchant des représentations projectives d\'un certain groupe, puis-je trouver des représentations linéaires dont elles découlent, éventuellement représentations d\'un autre groupe ? Évidemment, cette question n\'est pas gratuite, et c\'est précisément une question qui se pose en physique et qui explique la notion de spin d\'une particule.

Initialement, je comptais répondre rapidement à cette question à la fin de ce billet, mais afin d\'épargner mes lecteurs (enfin, ceux qui ne sont pas morts en cours de route), et dont je n\'ose imaginer l\'état à ce stade, je préfère y répondre dans un autre article, le dernier avant d\'expliquer l\'origine du spin (mais je n\'ose plus rien promettre...).

Je ne me serais jamais cru aussi prolixe (j\'avais sans doute mal devin-é...), mais vu l\'enthousiasme général (d\'au moins une personne qui s\'est dite intéressée) à propos de ce sujet, je vais réveiller un vieux souvenir, pas toujours agréable, pour un certain nombre de mes lecteurs, à savoir : les représentations de groupe (on ne grimace pas !). Les prérequis seront essentiellement le programme de sup (notions sur les groupes, les espaces vectoriels, le groupe linéaire de matrices).

« Il faut, Messieurs, agir ! » Sérébriakov dans Oncle Vania (Tchekhov)

Prenons un groupe. Par rapport à notre pauvre condition d\'être humain (quoique je ne veuille nullement interdire ce blog aux êtres non humains, ou même aux non êtres), le groupe, lui, a un avantage considérable : il sait pour quoi il est fait et quel est son unique but dans la vie ; et ce but, c\'est d\'agir (personnellement, je soupçonne un vaste complot de la part des professeurs de mathématiques, qui semblent garder très précautionneusement ce secret... de la jalousie ? peut-être). Agir, c\'est bien beau, mais avant d\'agir, il faut d\'abord (en mathématiques) se donner un ensemble sur lequel on agit. Cet ensemble peut être le groupe lui-même, mais ce n\'est pas obligatoire, et c\'est même assez restrictif.

Bon, maintenant que nous avons notre groupe [tex]$G$[/tex] et notre ensemble [tex]$X$[/tex], l\'action consiste à (roulements de timbales, la foule retient son souffle) associer à chaque couple [tex]$(g,x) \\in G \\times X$[/tex] un autre élément de l\'ensemble (la foule trouve qu\'on a fait beaucoup de bruit pour pas grand chose) ! Et je suis d\'accord avec la foule : car avec cette définition incomplète, on n\'a même pas utilisé le fait que [tex]$G$[/tex] soit un groupe (et lorsqu\'on est paresseux, on n\'aime pas vraiment s\'embêter à définir plein de lois compliquées sur un ensemble pour qu\'elles ne servent finalement à rien). Qu\'à cela ne tienne, on va rajouter des conditions supplémentaires : et tout naturellement, on va demander à ce que l\'action soit compatible avec la structure de groupe.

Pour cela, prenons une image qui m\'est venue sur le trajet. Imaginons que notre ensemble soit un ensemble de poneys de toutes les couleurs possibles, et que notre groupe soit six pots de peintures : trois pour les couleurs primaires (cyan, magenta, jaune), et trois pour des anti-couleurs (anti-cyan, anti-magenta, anti-jaune). Une anti-couleur est bien sûr définie par le fait que si je mélange du cyan et de l\'anti-cyan, je trouve la couleur originale du support. Si je mélange du cyan et du jaune, j\'obtiens bien sûr du vert, etc. Mon action consiste à prendre un pot de peinture, un poney, et à badigeonner (complètement) le poney de peinture. Demander que l\'action soit compatible avec la loi de groupe revient à peu près à dire ceci : si je peins d\'abord mon poney en jaune, puis en bleu, l\'opération doit être équivalente à décider de peindre dès le départ mon poney en vert. Ou pour redevenir un peu sérieux, j\'impose la condition suivante : si j\'agis dans un premier temps sur [tex]$x$[/tex] avec [tex]$g_1$[/tex], puis dans un deuxième temps j\'agis sur [tex]$g_1\\cdot x$[/tex] (qui représente le résultat de la première opération, vous l\'aurez compris) avec [tex]$g_2$[/tex], je veux que ce soit la même chose que si j\'avais agis dès le départ avec [tex]$g_2 g_1$[/tex]. C\'est finalement une condition très naturelle quand on y pense un peu. Ah, et pour faire les choses bien, il y a encore une petite chose à demander : l\'élément neutre du groupe agit sans agir, c\'est-à-dire qu\'il laisse l\'élément invariant.

Finalement, une action de groupe, c\'est une application [tex]$G \\times X \\rightarrow X$[/tex], [tex]$(g,x)\\mapsto g\\cdot x$[/tex] qui vérifie les deux propriétés :

1. [tex]$\\forall x \\in X, \\quad (e,x) \\mapsto x$[/tex] ;
\r\n
2. [tex]$\\forall x \\in X, \\forall g_1,g_2 \\in G, \\quad g_2\\cdot (g_1 \\cdot x) = (g_2 g_1) \\cdot x $[/tex].
\r\n

Donnons quelques exemples (quoique je sois très fier de mes poneys coloriés à coups de pots de peinture).

Déjà, il y a l\'action la plus inintéressante qui soit (mais qui sommes nous pour juger ?), l\'action triviale : quel que soit l\'élément [tex]$g$[/tex] que je choisis, je ne touche pas à mon élément de départ, je le renvoie inchangé : [tex]$g\\cdot x = x$[/tex].

Pour une action un peu plus intéressante, prenons l\'ensemble des sommets d\'un carré, et le groupe des rotations d\'angle 0°, 90°, 180° et 270°. Mon action est définie comme vous l\'imaginez : on prend le sommet, et on effectue une rotation de centre celui du carré, et d\'angle celui correspondant à l\'élément de mon groupe. On obtient bien un autre sommet, et je vous laisse vous convaincre que les propriétés demandées sont bien satisfaites.

De manière un peu plus générale, si on regarde l\'ensemble des rotations dans l\'espace à 3 dimensions [tex]$SO(3)$[/tex], celui-ci agit sur l\'espace [tex]$\\mathbf{R}^3$[/tex] en prenant un vecteur et en le faisant... tourner ! Mais ce même groupe agit également, de la même manière, sur la sphère unité de [tex]$\\mathbf{R}^3$[/tex] : en effet, une rotation change l\'orientation, mais conserve la norme des vecteurs. Donc en agissant sur ma sphère avec une rotation, je retomberai toujours sur un vecteur de la sphère.

Un autre exemple que j\'oserai qualifier de concret est celui où le groupe est [tex]$GL_n(\\mathbf{R})$[/tex], et l\'ensemble est l\'ensemble des bases de l\'espace vectoriel. Il est bien connu qu\'un élément du groupe linéaire transforme une base en une autre base.

Je vous laisse voir ici pour d\'autres exemples.

Avant de passer aux représentations, j\'aimerais montrer une autre définition, équivalente, de la notion d\'action. Si on fixe un élément du groupe, on a donc une application de [tex]$X$[/tex] dans [tex]$X$[/tex] : je choisis un élément [tex]$x$[/tex], [tex]$g$[/tex] avait de toute manière été fixée, et je peux donc obtenir un nouvel élément [tex]$x\' = g \\cdot x = f(x)$[/tex]. Cette application possède des propriétés particulières : en fait, c\'est une permutation, c\'est-à-dire une bijection de [tex]$X$[/tex] dans lui-même. En effet, trouver l\'application réciproque est aisée : il suffit de choisir [tex]$g: x \\mapsto g^{-1}\\cdot x$[/tex], puisque

[tex]$x \\overset{f}{\\mapsto} g\\cdot x \\overset{g}{\\mapsto} g^{-1}\\cdot(g\\cdot x) = e\\cdot x = x $[/tex]

ce qui permet d\'affirmer que [tex]$g\\circ f = \\mathrm{Id}$[/tex], et de même, [tex]$f\\circ g = \\mathrm{Id}$[/tex]. On a donc choisit un élément du groupe, et on a vu qu\'on pouvait lui associer une permutation. Et on a même le droit à une propriété supplémentaire : l\'association élément du groupe à permutation est en fait un morphisme de groupe (eh oui, les permutations de [tex]$X$[/tex] aussi constituent un groupe ! Et d\'ailleurs, ce groupe agit naturellement sur [tex]$X$[/tex] ; saurez-vous trouver comment ?). Au final, on peut aussi définir une action de groupe comme un morphisme de [tex]$G$[/tex] vers [tex]$\\mathfrak{S}(X)$[/tex], groupe des permutations de [tex]$X$[/tex].

Représentations de groupe

J\'espère que vous avez à peu près assimilé la notion d\'action de groupe, car une représentation... n\'est qu\'un cas particulier d\'action ! La particularité réside dans le fait que le groupe [tex]$\\mathfrak{S}(X)$[/tex] est, par définition, le groupe linéaire d\'un espace vectoriel. Bon bon bon. On évite les perles de sueur, et on se calme. Commençons par deux exemples que j\'espère instructifs.

Considérons le groupe des réels munis de l\'addition. Groupe d\'une banalité affligeante me direz-vous. Certes. Soient [tex]$a$[/tex] et [tex]$b$[/tex] deux tels réels. Calculer [tex]$a+b$[/tex], c\'est-à-dire la loi de groupe, ne pose pas de grands soucis. Je propose maintenant une égalité :

[tex]\\catcode`\\?=4 $\\begin{pmatrix} 1 ? a \\\\ 0 ? 1 \\end{pmatrix}\\times \\begin{pmatrix} 1 ? b \\\\ 0 ? 1 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 ? a+b \\\\ 0 ? 1 \\end{pmatrix}$[/tex]

Deux choses sont à noter : les matrices dont il est question sont inversibles ; d\'autre part, la multiplication des matrices exprime la loi du groupe additif des réels.

Prenons un autre exemple, le groupe des permutations d\'un ensemble à trois éléments. Ce groupe a six éléments : [tex]$\\mathrm{Id}$[/tex], [tex]$(1 \\,2)$[/tex], [tex]$(2\\, 3)$[/tex], [tex]$(1\\, 3)$[/tex], [tex]$(1\\, 2\\, 3)$[/tex] et enfin [tex]$(1\\, 3\\, 2)$[/tex]. On sait explicitement calculer les lois de groupes. Par exemple, [tex]$(1\\,2\\,3)\\circ(2\\,3) = (1\\,2)$[/tex] puisque [tex]$1$[/tex] est envoyé sur [tex]$2$[/tex] par la deuxième permutation, [tex]$2$[/tex] est envoyé sur [tex]$3$[/tex], puis sur [tex]$1$[/tex], et enfin [tex]$3$[/tex] est envoyé sur [tex]$2$[/tex], puis sur [tex]$3$[/tex]. Malheureusement, cette manière de faire n\'est pas très pratique, en particulier si on cherche à automatiser les calculs, par ordinateur par exemple. Comme finalement, la seule chose qu\'on sache bien calculer, ce sont les additions et les multiplications, on va chercher à écrire les éléments précédents sous forme matricielle. On réalise les associations suivantes :

[tex]\\catcode`\\?=4 \\begin{minipage}{400pt}\\begin{align*}\\mathrm{Id}?\\mapsto\\begin{pmatrix} 1 ? 0 \\\\ 0 ? 1 \\end{pmatrix} ? (1\\,2\\,3)?\\mapsto\\begin{pmatrix} j ? 0 \\\\ 0 ? j^2 \\end{pmatrix} ? (1\\,3\\,2)?\\mapsto\\begin{pmatrix} j^2 ? 0 \\\\ 0 ? j \\end{pmatrix}\\\\ (1 \\,2)?\\mapsto \\begin{pmatrix} 0 ? 1 \\\\ 1 ? 0 \\end{pmatrix} ? (1 \\,3)?\\mapsto\\begin{pmatrix} 0 ? j \\\\ j^2 ? 0 \\end{pmatrix} ? (2 \\,3)?\\mapsto\\begin{pmatrix} 0 ? j^2 \\\\ j ? 0 \\end{pmatrix} \\end{align*}\\end{minipage}[/tex]

où [tex]$j = \\exp \\frac{2 i \\pi}{3}$[/tex]. Avec un peu de calcul, on se convainc facilement qu\'à nouveau, la multiplication des matrices respecte la loi du groupe initial. En outre, les matrices considérées sont inversibles (ce qui est d\'ailleurs une conséquence logique du fait que la loi de groupe soit respectée !).

Ces deux exemples constituent des représentations, respectivement du groupe [tex]$(\\mathbf{R},+)$[/tex] et du groupe [tex]$\\mathfrak{S}_3$[/tex], car à chaque élément, on a associé une matrice inversible, c\'est-à-dire un élément d\'un certain groupe linéaire. La voilà, la grande et géniale idée de la théorie des représentations : en général, faire des calculs à partir d\'un groupe est assez délicat à mener ; dans les deux exemples exposés, c\'est encore possible (surtout pour le premier), mais ce n\'est en général pas trop le cas. En revanche, il existe des groupes que l\'on connaît très bien, ce sont les groupes linéaires d\'espaces vectoriels, qui s\'identifient aux matrices inversibles. Et calculer des matrices, c\'est facile. Ainsi, représenter un groupe, c\'est trouver un morphisme vers un certain [tex]$GL_n(\\mathbf{R},\\mathbf{C})$[/tex]. Grâce à la remarque à la fin de la section précédente, on peut aussi dire que c\'est le faire agir sur un espace vectoriel, qualifié pour l\'occasion d\'espace de la représentation.

Bien sûr, trouver une représentation, et a fortiori, les trouver toutes, ça demande du travail, et c\'est en général loin d\'être évident. Il n\'en reste pas moins qu\'on a plus de prises sur un groupe si on connaît ses représentations. En outre, la physique (quantique et au-delà) est très friande de représentations, pour des raisons que j\'évoquerais probablement dans un autre article. En gros, un état quantique est symbolisé par un élément d\'un espace de Hilbert ; les symétries de l\'espace-temps sont conceptualisées par des groupes. Pour pouvoir appliquer ces symétries, il faut donc passer par des représentations. Un scalaire est un élément se transformant par une certaine représentation du groupe des rotations ; un spineur (d\'où la notion de spin d\'une particule) indique qu\'on utilise une autre représentation du même groupe, etc.

J\'aimerais terminer sur une propriété assez simple des représentations, à savoir la notion d\'irréductibilité. Prenons un exemple tout simple : le groupe [tex]$(\\mathbf{R},\\times)$[/tex]. Évidemment, ce groupe constitue lui-même un groupe linéaire, puisque c\'est une matrice carrée de côté 1. Mais si on regarde

[tex]\\catcode`\\?=4 $\\begin{pmatrix} a ? 0 \\\\ 0 ? a \\end{pmatrix} $[/tex]

c\'est une manière certes étrange, mais correcte, de représenter ce même groupe : la matrice est diagonale par bloc, donc la loi de groupe est respectée (simultanément sur les deux blocs). Une telle représentation est qualifiée de réductible, car on n\'a rien fait de plus qu\'accoler deux représentations que l\'on connaissait déjà ; cette représentation n\'apporte donc rien de nouveau, il est possible de la décortiquer. On s\'intéresse donc aux représentations qui ne jouissent pas de cette propriété, et qu\'on qualifie d\'irréductibles (oui, comme les gaulois).

Je ne me serais jamais cru aussi prolixe (j\'avais sans doute mal devin-é...), mais vu l\'enthousiasme général (d\'au moins une personne qui s\'est dite intéressée) à propos de ce sujet, je vais réveiller un vieux souvenir, pas toujours agréable, pour un certain nombre de mes lecteurs, à savoir : les représentations de groupe (on ne grimace pas !). Les prérequis seront essentiellement le programme de sup (notions sur les groupes, les espaces vectoriels, le groupe linéaire de matrices).

« Il faut, Messieurs, agir ! » Sérébriakov dans Oncle Vania (Tchekhov)

Prenons un groupe. Par rapport à notre pauvre condition d\'être humain (quoique je ne veuille nullement interdire ce blog aux êtres non humains, ou même aux non êtres), le groupe, lui, a un avantage considérable : il sait pour quoi il est fait et quel est son unique but dans la vie ; et ce but, c\'est d\'agir (personnellement, je soupçonne un vaste complot de la part des professeurs de mathématiques, qui semblent garder très précautionneusement ce secret... de la jalousie ? peut-être). Agir, c\'est bien beau, mais avant d\'agir, il faut d\'abord (en mathématiques) se donner un ensemble sur lequel on agit. Cet ensemble peut être le groupe lui-même, mais ce n\'est pas obligatoire, et c\'est même assez restrictif.

Bon, maintenant que nous avons notre groupe [tex]$G$[/tex] et notre ensemble [tex]$X$[/tex], l\'action consiste à (roulements de timbales, la foule retient son souffle) associer à chaque couple [tex]$(g,x) \\in G \\times X$[/tex] un autre élément de l\'ensemble (la foule trouve qu\'on a fait beaucoup de bruit pour pas grand chose) ! Et je suis d\'accord avec la foule : car avec cette définition incomplète, on n\'a même pas utilisé le fait que [tex]$G$[/tex] soit un groupe (et lorsqu\'on est paresseux, on n\'aime pas vraiment s\'embêter à définir plein de lois compliquées sur un ensemble pour qu\'elles ne servent finalement à rien). Qu\'à cela ne tienne, on va rajouter des conditions supplémentaires : et tout naturellement, on va demander à ce que l\'action soit compatible avec la structure de groupe.

Pour cela, prenons une image qui m\'est venue sur le trajet. Imaginons que notre ensemble soit un ensemble de poneys de toutes les couleurs possibles, et que notre groupe soit six pots de peintures : trois pour les couleurs primaires (cyan, magenta, jaune), et trois pour des anti-couleurs (anti-cyan, anti-magenta, anti-jaune). Une anti-couleur est bien sûr définie par le fait que si je mélange du cyan et de l\'anti-cyan, je trouve la couleur originale du support. Si je mélange du cyan et du jaune, j\'obtiens bien sûr du vert, etc. Mon action consiste à prendre un pot de peinture, un poney, et à badigeonner (complètement) le poney de peinture. Demander que l\'action soit compatible avec la loi de groupe revient à peu près à dire ceci : si je peins d\'abord mon poney en jaune, puis en bleu, l\'opération doit être équivalente à décider de peindre dès le départ mon poney en vert. Ou pour redevenir un peu sérieux, j\'impose la condition suivante : si j\'agis dans un premier temps sur [tex]$x$[/tex] avec [tex]$g_1$[/tex], puis dans un deuxième temps j\'agis sur [tex]$g_1\\cdot x$[/tex] (qui représente le résultat de la première opération, vous l\'aurez compris) avec [tex]$g_2$[/tex], je veux que ce soit la même chose que si j\'avais agis dès le départ avec [tex]$g_2 g_1$[/tex]. C\'est finalement une condition très naturelle quand on y pense un peu. Ah, et pour faire les choses bien, il y a encore une petite chose à demander : l\'élément neutre du groupe agit sans agir, c\'est-à-dire qu\'il laisse l\'élément invariant.

Finalement, une action de groupe, c\'est une application [tex]$G \\times X \\rightarrow X$[/tex], [tex]$(g,x)\\mapsto g\\cdot x$[/tex] qui vérifie les deux propriétés :

1. [tex]$\\forall x \\in X, \\quad (e,x) \\mapsto x$[/tex] ;
\r\n
2. [tex]$\\forall x \\in X, \\forall g_1,g_2 \\in G, \\quad g_2\\cdot (g_1 \\cdot x) = (g_2 g_1) \\cdot x $[/tex].
\r\n

Donnons quelques exemples (quoique je sois très fier de mes poneys coloriés à coups de pots de peinture).

Déjà, il y a l\'action la plus inintéressante qui soit (mais qui sommes nous pour juger ?), l\'action triviale : quel que soit l\'élément [tex]$g$[/tex] que je choisis, je ne touche pas à mon élément de départ, je le renvoie inchangé : [tex]$g\\cdot x = x$[/tex].

Pour une action un peu plus intéressante, prenons l\'ensemble des sommets d\'un carré, et le groupe des rotations d\'angle 0°, 90°, 180° et 270°. Mon action est définie comme vous l\'imaginez : on prend le sommet, et on effectue une rotation de centre celui du carré, et d\'angle celui correspondant à l\'élément de mon groupe. On obtient bien un autre sommet, et je vous laisse vous convaincre que les propriétés demandées sont bien satisfaites.

De manière un peu plus générale, si on regarde l\'ensemble des rotations dans l\'espace à 3 dimensions [tex]$SO(3)$[/tex], celui-ci agit sur l\'espace [tex]$\\mathbf{R}^3$[/tex] en prenant un vecteur et en le faisant... tourner ! Mais ce même groupe agit également, de la même manière, sur la sphère unité de [tex]$\\mathbf{R}^3$[/tex] : en effet, une rotation change l\'orientation, mais conserve la norme des vecteurs. Donc en agissant sur ma sphère avec une rotation, je retomberai toujours sur un vecteur de la sphère.

Un autre exemple que j\'oserai qualifier de concret est celui où le groupe est [tex]$GL_n(\\mathbf{R})$[/tex], et l\'ensemble est l\'ensemble des bases de l\'espace vectoriel. Il est bien connu qu\'un élément du groupe linéaire transforme une base en une autre base.

Je vous laisse voir ici pour d\'autres exemples.

Avant de passer aux représentations, j\'aimerais montrer une autre définition, équivalente, de la notion d\'action. Si on fixe un élément du groupe, on a donc une application de [tex]$X$[/tex] dans [tex]$X$[/tex] : je choisis un élément [tex]$x$[/tex], [tex]$g$[/tex] avait de toute manière été fixée, et je peux donc obtenir un nouvel élément [tex]$x\' = g \\cdot x = f(x)$[/tex]. Cette application possède des propriétés particulières : en fait, c\'est une permutation, c\'est-à-dire une bijection de [tex]$X$[/tex] dans lui-même. En effet, trouver l\'application réciproque est aisée : il suffit de choisir [tex]$g: x \\mapsto g^{-1}\\cdot x$[/tex], puisque

[tex]$x \\overset{f}{\\mapsto} g\\cdot x \\overset{g}{\\mapsto} g^{-1}\\cdot(g\\cdot x) = e\\cdot x = x $[/tex]

ce qui permet d\'affirmer que [tex]$g\\circ f = \\mathrm{Id}$[/tex], et de même, [tex]$f\\circ g = \\mathrm{Id}$[/tex]. On a donc choisit un élément du groupe, et on a vu qu\'on pouvait lui associer une permutation. Et on a même le droit à une propriété supplémentaire : l\'association élément du groupe à permutation est en fait un morphisme de groupe (eh oui, les permutations de [tex]$X$[/tex] aussi constituent un groupe ! Et d\'ailleurs, ce groupe agit naturellement sur [tex]$X$[/tex] ; saurez-vous trouver comment ?). Au final, on peut aussi définir une action de groupe comme un morphisme de [tex]$G$[/tex] vers [tex]$\\mathfrak{S}(X)$[/tex], groupe des permutations de [tex]$X$[/tex].

Représentations de groupe

J\'espère que vous avez à peu près assimilé la notion d\'action de groupe, car une représentation... n\'est qu\'un cas particulier d\'action ! La particularité réside dans le fait que le groupe [tex]$\\mathfrak{S}(X)$[/tex] est, par définition, le groupe linéaire d\'un espace vectoriel. Bon bon bon. On évite les perles de sueur, et on se calme. Commençons par deux exemples que j\'espère instructifs.

Considérons le groupe des réels munis de l\'addition. Groupe d\'une banalité affligeante me direz-vous. Certes. Soient [tex]$a$[/tex] et [tex]$b$[/tex] deux tels réels. Calculer [tex]$a+b$[/tex], c\'est-à-dire la loi de groupe, ne pose pas de grands soucis. Je propose maintenant une égalité :

[tex]\\catcode`\\?=4 $\\begin{pmatrix} 1 ? a \\\\ 0 ? 1 \\end{pmatrix}\\times \\begin{pmatrix} 1 ? b \\\\ 0 ? 1 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 ? a+b \\\\ 0 ? 1 \\end{pmatrix}$[/tex]

Deux choses sont à noter : les matrices dont il est question sont inversibles ; d\'autre part, la multiplication des matrices exprime la loi du groupe additif des réels.

Prenons un autre exemple, le groupe des permutations d\'un ensemble à trois éléments. Ce groupe a six éléments : [tex]$\\mathrm{Id}$[/tex], [tex]$(1 \\,2)$[/tex], [tex]$(2\\, 3)$[/tex], [tex]$(1\\, 3)$[/tex], [tex]$(1\\, 2\\, 3)$[/tex] et enfin [tex]$(1\\, 3\\, 2)$[/tex]. On sait explicitement calculer les lois de groupes. Par exemple, [tex]$(1\\,2\\,3)\\circ(2\\,3) = (1\\,2)$[/tex] puisque [tex]$1$[/tex] est envoyé sur [tex]$2$[/tex] par la deuxième permutation, [tex]$2$[/tex] est envoyé sur [tex]$3$[/tex], puis sur [tex]$1$[/tex], et enfin [tex]$3$[/tex] est envoyé sur [tex]$2$[/tex], puis sur [tex]$3$[/tex]. Malheureusement, cette manière de faire n\'est pas très pratique, en particulier si on cherche à automatiser les calculs, par ordinateur par exemple. Comme finalement, la seule chose qu\'on sache bien calculer, ce sont les additions et les multiplications, on va chercher à écrire les éléments précédents sous forme matricielle. On réalise les associations suivantes :

[tex]\\catcode`\\?=4 \\begin{minipage}{400pt}\\begin{align*}\\mathrm{Id}?\\mapsto\\begin{pmatrix} 1 ? 0 \\\\ 0 ? 1 \\end{pmatrix} ? (1\\,2\\,3)?\\mapsto\\begin{pmatrix} j ? 0 \\\\ 0 ? j^2 \\end{pmatrix} ? (1\\,3\\,2)?\\mapsto\\begin{pmatrix} j^2 ? 0 \\\\ 0 ? j \\end{pmatrix}\\\\ (1 \\,2)?\\mapsto \\begin{pmatrix} 0 ? 1 \\\\ 1 ? 0 \\end{pmatrix} ? (1 \\,3)?\\mapsto\\begin{pmatrix} 0 ? j \\\\ j^2 ? 0 \\end{pmatrix} ? (2 \\,3)?\\mapsto\\begin{pmatrix} 0 ? j^2 \\\\ j ? 0 \\end{pmatrix} \\end{align*}\\end{minipage}[/tex]

où [tex]$j = \\exp \\frac{2 i \\pi}{3}$[/tex]. Avec un peu de calcul, on se convainc facilement qu\'à nouveau, la multiplication des matrices respecte la loi du groupe initial. En outre, les matrices considérées sont inversibles (ce qui est d\'ailleurs une conséquence logique du fait que la loi de groupe soit respectée !).

Ces deux exemples constituent des représentations, respectivement du groupe [tex]$(\\mathbf{R},+)$[/tex] et du groupe [tex]$\\mathfrak{S}_3$[/tex], car à chaque élément, on a associé une matrice inversible, c\'est-à-dire un élément d\'un certain groupe linéaire. La voilà, la grande et géniale idée de la théorie des représentations : en général, faire des calculs à partir d\'un groupe est assez délicat à mener ; dans les deux exemples exposés, c\'est encore possible (surtout pour le premier), mais ce n\'est en général pas trop le cas. En revanche, il existe des groupes que l\'on connaît très bien, ce sont les groupes linéaires d\'espaces vectoriels, qui s\'identifient aux matrices inversibles. Et calculer des matrices, c\'est facile. Ainsi, représenter un groupe, c\'est trouver un morphisme vers un certain [tex]$GL_n(\\mathbf{R},\\mathbf{C})$[/tex]. Grâce à la remarque à la fin de la section précédente, on peut aussi dire que c\'est le faire agir sur un espace vectoriel, qualifié pour l\'occasion d\'espace de la représentation.

Bien sûr, trouver une représentation, et a fortiori, les trouver toutes, ça demande du travail, et c\'est en général loin d\'être évident. Il n\'en reste pas moins qu\'on a plus de prises sur un groupe si on connaît ses représentations. En outre, la physique (quantique et au-delà) est très friande de représentations, pour des raisons que j\'évoquerais probablement dans un autre article. En gros, un état quantique est symbolisé par un élément d\'un espace de Hilbert ; les symétries de l\'espace-temps sont conceptualisées par des groupes. Pour pouvoir appliquer ces symétries, il faut donc passer par des représentations. Un scalaire est un élément se transformant par une certaine représentation du groupe des rotations ; un spineur (d\'où la notion de spin d\'une particule) indique qu\'on utilise une autre représentation du même groupe, etc.

J\'aimerais terminer sur une propriété assez simple des représentations, à savoir la notion d\'irréductibilité. Prenons un exemple tout simple : le groupe [tex]$(\\mathbf{R},\\times)$[/tex]. Évidemment, ce groupe constitue lui-même un groupe linéaire, puisque c\'est une matrice carrée de côté 1. Mais si on regarde

[tex]\\catcode`\\?=4 $\\begin{pmatrix} a ? 0 \\\\ 0 ? a \\end{pmatrix} $[/tex]

c\'est une manière certes étrange, mais correcte, de représenter ce même groupe : la matrice est diagonale par bloc, donc la loi de groupe est respectée (simultanément sur les deux blocs). Une telle représentation est qualifiée de réductible, car on n\'a rien fait de plus qu\'accoler deux représentations que l\'on connaissait déjà ; cette représentation n\'apporte donc rien de nouveau, il est possible de la décortiquer. On s\'intéresse donc aux représentations qui ne jouissent pas de cette propriété, et qu\'on qualifie d\'irréductibles (oui, comme les gaulois).

Pour inaugurer ce blog, je vous propose — d\'aucuns diront que j\'impose ; et ils auraient raison, mais après tout, c\'est mon blog — une petite énigme. Bon, pour être honnête, c\'est surtout pour tester le nouveau plugin [tex]\\LaTeX[/tex] que je viens d\'installer. Et pour être encore plus honnête : il faut bien se distraire pendant cette période d\'examens.

Bref.

L\'énigme que je propose est assez connue, et un élève de sup est capable de la résoudre (en théorie, car la solution est assez difficile à imaginer, et pas réellement intuitive). En voici donc l\'énoncé.

Il était une fois, à l\'École polytechnique, un Directeur des Études. C\'était un homme mauvais — ce qui en passant n\'étonnera personne, puisqu\'il avait accepté ce poste. Il cherchait toujours de nouveaux moyens de nuire à l\'épanouissement des élèves. Un jour, en quête de nouvelles idées, il demanda à un professeur de mathématique de s\'occuper de cette basse besogne. Ce dernier, qui ne voulait ni déplaire à son supérieur par une tâche trop facile, ni aux élèves auxquels il ne voulait pas nuire, proposa une épreuve, dont l\'issue déterminerait le départ en vacances des élèves. Cette épreuve devait sembler suffisamment perfide au Directeur, mais il était confiant en la sagacité des étudiants pour savoir qu\'ils trouveraient une manière de s\'en sortir. Sa proposition était la suivante :

« Installez dans l\'amphi Arago, pour chacun des cinq cents élèves, un casier portant son nom. Préparez également cinq cents billets, chacun comportant le nom d\'un élève (et chaque élève apparaissant une fois, et une seule). Enfin, vous distribuerez les billets au hasard dans chacun des casiers. Après cette préparation, vous convoquerez les élèves en Poincaré. Chaque élève, à tour de rôle, et dans un ordre aléatoire qu\'ils ne connaissent pas, se rendra en Arago ; il aura le droit d\'ouvrir deux cent cinquante casiers, et de consulter le nom inscrit sur les billets contenus dans ceux-ci, mais sans y toucher. Si au terme de cette consultation, il a réussi à identifier le casier contenant son billet, il remet tout dans l\'état dans lequel il l\'a trouvé, et sort, sans avoir le droit de donner d\'informations aux autres rester en Poincaré, et l\'élève suivant est admis en amphi Arago. Si tous les élèves sans exceptions parviennent à identifier le casier contenant le billet à leurs noms, les élèves peuvent partir en vacances. Dans le cas contraire, si un élève ou plus ne parvient pas à l\'identifier, toute la cérémonie est remise au lendemain — avec bien sûr un nouveau tirage des billets. »

Jubilation du Directeur des Études. Se souvenant de ses cours de probabilité de terminale, il tint le raisonnement suivant : « Aucun élève, en arrivant en Arago, ne peut savoir où est son billet. En ouvrant des casiers au hasard, il a finalement une chance sur deux de parvenir à trouver son nom. Pour que tous les élèves y arrivent, il y a donc une probabilité [tex]$(1/2)^{500}$[/tex] . Je peux dormir tranquille, ils ne partiront jamais en vacances. Et j\'aurai tout le loisir de concocter de nouveaux plans diaboliques pour les tourmenter. »

Pourtant, en quelques jours, les élèves partirent en vacances. Bien entendu, ce n\'était pas sur la clémence du Directeur qu\'ils avaient pu compté. Alors, comment ont-il fait (sachant qu\'ils n\'ont pas eu particulièrement de chance) ?

Évidemment, le raisonnement du Directeur est parfaitement exact. Malheureusement, ses hypothèses de départ étaient fausses : les élèves n\'ont pas ouvert les casiers au hasard. S\'ils n\'ont pas ouvert au hasard, ils ont donc utiliser les rares informations dont ils disposaient en rentrant en Arago. Cette information se réduit même à une seule : leurs noms. Et cette information permet de particulariser un, et un seul, casier : le leur ! Chaque élève va donc aller regarder ce que contient son casier. Il y trouve un billet sur lequel est inscrit un nom. Si c\'est son propre nom, il peut sortir, et l\'élève suivant entre en agissant de la même manière ; sinon, ce billet contient un autre nom, qui particularise un nouveau casier. Il va à ce nouveau casier, et répète l\'opération : il l\'ouvre, et s\'il trouve son nom, il peut sortir, sinon, il va au casier indiqué par le nouveau nom qu\'il trouve, etc.

Évidemment, même si cette stratégie utilise les seules informations qu\'on connaît, il n\'est pas du tout évident a priori qu\'elle permettra de s\'en sortir en un temps raisonnable. Pour démontrer cela, on va devoir formaliser le problème un petit peu.

Mettre un billet dans chaque casier, chaque billet et chaque casier possédant un identifiant (dans notre cas, le nom), et chaque identifiant se retrouvant sur exactement un billet et un casier, correspond à choisir une permutation du groupe symétrique [tex]$\\mathfrak{S}_n$[/tex], où [tex]$n$[/tex] est, dans notre cas, le nombre d\'étudiants. Lorsqu\'ils suivent la procédure, ils parcourent un cycle de cette permutation. Par exemple, si la ligne du haut représente le numéro du casier, et la ligne du bas, le numéro inscrit sur le billet, alors la permutation

[tex]\\catcode`\\?=4$\\begin{pmatrix} 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 \\\\ 2 ? 7 ? 4 ? 6 ? 1 ? 3 ? 9 ? 10? 5 ? 8 \\end{pmatrix}$[/tex]

signifie que l\'élève 3 trouvera dans son casier le billet de 4 ; en allant ouvrir le casier de 4, il trouve le billet de 6, et dans le casier de 6, il trouve son propre billet. Cette permutation se symbolise aussi par

[tex]$(1 2 7 9 5)(3 4 6)(8 10) $[/tex] :

si l\'on part d\'un numéro quelconque, il faut regarder le suivant dans la liste pour savoir le numéro qui lui est associé, en convenant que si on atteint une parenthèse fermante, on revient au nombre qui suit la parenthèse ouvrante associée. Évidemment, avec cette notation, [tex]$(3 4 6) = (4 6 3) = (6 3 4)$[/tex], et c\'est aussi la succession d\'ouverture que j\'ai décrite un peu plus haut ; une telle succession de numéro, qui boucle sur elle-même, est appelé un cycle, et on peut démontrer que toute permutation se décompose sous la forme de cycles de tailles variables.

Pour en revenir à nos étudiants, un peu de réflexion permet d\'arriver à la conclusion suivante : si la longueur du cycle qui est associée à mon casier est plus petite que le nombre d\'étudiant divisé par deux, alors je parviendrai à trouver mon nom en respectant les conditions. En effet, en choisissant mon casier comme point de départ, je choisis dès le départ « mon » cycle, c\'est-à-dire celui dans lequel j\'apparais. Et le contrat est rempli si ce cycle est plus petit que 250. Pour que les étudiants puissent partir en vacances, il faut donc que tous les cycles (puisque chaque cycle est utilisé !) soient de longueurs plus petites que [tex]$n/2$[/tex] : si chacun respecte la procédure, elle sera gagnante dès que tous les cycles satisfont la propriété.

Le problème est donc transformé en la question suivante : si on se donne une permutation au hasard, quelle est la probabilité qu\'elle ne possède aucun cycle de longueur supérieure à [tex]$n/2$[/tex]. On va en fait répondre à la question complémentaire : quelle est la probabilité qu\'elle possède un cycle de taille supérieure à [tex]$n/2$[/tex].

Dans un premier temps, on s\'intéresse à la probabilité qu\'une permutation choisie au hasard contienne (au moins) un cycle de longueur [tex]$k, 1 \\leq k \\leq n$[/tex] avec [tex]$n$[/tex] pair le nombre d\'éléments. Pour cela, on commence par choisir les [tex]$k$[/tex] nombres à mettre dans le cycle ; l\'ordre de choix est important, donc on a

[tex]$ n \\times (n-1) \\times \\ldots \\times (n-k+1) = \\displaystyle \\frac{n!}{(n-k)!}$ [/tex]

possibilités. Mais il ne faut pas oublier qu\'un cycle peut s\'écrire de plusieurs manières différentes : [tex]$(3 4 6) = (4 6 3) = (6 3 4)$[/tex] sont trois écritures possibles d\'un même cycle. On a [tex]$k$[/tex] manières de choisir le nombre en première position, ce qui donne  [tex]$ \\frac{n!}{k (n-k)!}$ [/tex]. On a donc déterminé le nombre de manières de choisir un cycle de la transposition ; il y a ensuite [tex]$ (n-k)!$ [/tex] manières de réaliser une permutation des [tex]$ (n-k)$ [/tex] nombres restants. Ainsi, le nombre de permutations de [tex]$\\mathfrak{S}_n$[/tex] contenant au moins un cycle de longueur [tex]$k$[/tex] est

[tex]$ \\displaystyle \\frac{n!}{ k (n-k)!}\\times (n-k)! = \\displaystyle \\frac{n!}{ k}$ [/tex] ,

et la probabilité est simplement

[tex]$ \\displaystyle \\frac{\\frac{n!}{k}}{n!} = \\frac{1}{k}$ [/tex] .

Lorsque [tex]$k > n/2$[/tex], il ne peut évidemment y avoir qu\'au plus un cycle de longueur [tex]$k$[/tex], et les évènements considérés sont disjoints : on peut donc sommer les probabilités. La probabilité qu\'une permutation de [tex]$\\mathfrak{S}_n$[/tex] choisie au hasard ne contienne aucun cycle de longueur strictement supérieure à [tex]$n/2$[/tex] est donc (roulement de timbales) :

[tex] $ 1 - \\displaystyle \\sum_{k=n/2+1}^n \\displaystyle \\frac{1}{k} $ [/tex] .

Pour évaluer cette expression, on va se servir du développement asymptotique de la série harmonique :

[tex] $ \\displaystyle \\sum_{k=1}^n \\frac1k \\simeq \\ln(n)+\\gamma+\\frac1{2n}, \\qquad \\gamma \\simeq 0{,}577$ [/tex]

et du coup

[tex] $ 1 - \\displaystyle \\sum_{k=n/2}^n \\displaystyle \\frac{1}{k} \\simeq 1 - \\displaystyle \\sum_{k=1}^n \\displaystyle \\frac{1}{k} + \\displaystyle \\sum_{k=1}^{n/2} \\displaystyle \\frac{1}{k} = 1 - \\ln 2 + \\frac1{2n} \\simeq 0{,}3 $ [/tex] .

Ainsi, les élèves ont une chance sur trois de partir en vacances à chaque tirage, ce qui est bien supérieur au [tex]$(1/2)^{500}$[/tex] initial !

Pour ceux qui suivent toujours, une petite question subsidiaire : quelle est la probabilité qu\'il y ait un chanceux dans le lot des étudiants, c\'est-à-dire que son casier contienne directement son billet ? Réponse dans un prochain billet à paraître prochainement.

Pour inaugurer ce blog, je vous propose — d\'aucuns diront que j\'impose ; et ils auraient raison, mais après tout, c\'est mon blog — une petite énigme. Bon, pour être honnête, c\'est surtout pour tester le nouveau plugin [tex]\\LaTeX[/tex] que je viens d\'installer. Et pour être encore plus honnête : il faut bien se distraire pendant cette période d\'examens.

Bref.

L\'énigme que je propose est assez connue, et un élève de sup est capable de la résoudre (en théorie, car la solution est assez difficile à imaginer, et pas réellement intuitive). En voici donc l\'énoncé.

Il était une fois, à l\'École polytechnique, un Directeur des Études. C\'était un homme mauvais — ce qui en passant n\'étonnera personne, puisqu\'il avait accepté ce poste. Il cherchait toujours de nouveaux moyens de nuire à l\'épanouissement des élèves. Un jour, en quête de nouvelles idées, il demanda à un professeur de mathématique de s\'occuper de cette basse besogne. Ce dernier, qui ne voulait ni déplaire à son supérieur par une tâche trop facile, ni aux élèves auxquels il ne voulait pas nuire, proposa une épreuve, dont l\'issue déterminerait le départ en vacances des élèves. Cette épreuve devait sembler suffisamment perfide au Directeur, mais il était confiant en la sagacité des étudiants pour savoir qu\'ils trouveraient une manière de s\'en sortir. Sa proposition était la suivante :

« Installez dans l\'amphi Arago, pour chacun des cinq cents élèves, un casier portant son nom. Préparez également cinq cents billets, chacun comportant le nom d\'un élève (et chaque élève apparaissant une fois, et une seule). Enfin, vous distribuerez les billets au hasard dans chacun des casiers. Après cette préparation, vous convoquerez les élèves en Poincaré. Chaque élève, à tour de rôle, et dans un ordre aléatoire qu\'ils ne connaissent pas, se rendra en Arago ; il aura le droit d\'ouvrir deux cent cinquante casiers, et de consulter le nom inscrit sur les billets contenus dans ceux-ci, mais sans y toucher. Si au terme de cette consultation, il a réussi à identifier le casier contenant son billet, il remet tout dans l\'état dans lequel il l\'a trouvé, et sort, sans avoir le droit de donner d\'informations aux autres rester en Poincaré, et l\'élève suivant est admis en amphi Arago. Si tous les élèves sans exceptions parviennent à identifier le casier contenant le billet à leurs noms, les élèves peuvent partir en vacances. Dans le cas contraire, si un élève ou plus ne parvient pas à l\'identifier, toute la cérémonie est remise au lendemain — avec bien sûr un nouveau tirage des billets. »

Jubilation du Directeur des Études. Se souvenant de ses cours de probabilité de terminale, il tint le raisonnement suivant : « Aucun élève, en arrivant en Arago, ne peut savoir où est son billet. En ouvrant des casiers au hasard, il a finalement une chance sur deux de parvenir à trouver son nom. Pour que tous les élèves y arrivent, il y a donc une probabilité [tex]$(1/2)^{500}$[/tex] . Je peux dormir tranquille, ils ne partiront jamais en vacances. Et j\'aurai tout le loisir de concocter de nouveaux plans diaboliques pour les tourmenter. »

Pourtant, en quelques jours, les élèves partirent en vacances. Bien entendu, ce n\'était pas sur la clémence du Directeur qu\'ils avaient pu compté. Alors, comment ont-il fait (sachant qu\'ils n\'ont pas eu particulièrement de chance) ?

Évidemment, le raisonnement du Directeur est parfaitement exact. Malheureusement, ses hypothèses de départ étaient fausses : les élèves n\'ont pas ouvert les casiers au hasard. S\'ils n\'ont pas ouvert au hasard, ils ont donc utiliser les rares informations dont ils disposaient en rentrant en Arago. Cette information se réduit même à une seule : leurs noms. Et cette information permet de particulariser un, et un seul, casier : le leur ! Chaque élève va donc aller regarder ce que contient son casier. Il y trouve un billet sur lequel est inscrit un nom. Si c\'est son propre nom, il peut sortir, et l\'élève suivant entre en agissant de la même manière ; sinon, ce billet contient un autre nom, qui particularise un nouveau casier. Il va à ce nouveau casier, et répète l\'opération : il l\'ouvre, et s\'il trouve son nom, il peut sortir, sinon, il va au casier indiqué par le nouveau nom qu\'il trouve, etc.

Évidemment, même si cette stratégie utilise les seules informations qu\'on connaît, il n\'est pas du tout évident a priori qu\'elle permettra de s\'en sortir en un temps raisonnable. Pour démontrer cela, on va devoir formaliser le problème un petit peu.

Mettre un billet dans chaque casier, chaque billet et chaque casier possédant un identifiant (dans notre cas, le nom), et chaque identifiant se retrouvant sur exactement un billet et un casier, correspond à choisir une permutation du groupe symétrique [tex]$\\mathfrak{S}_n$[/tex], où [tex]$n$[/tex] est, dans notre cas, le nombre d\'étudiants. Lorsqu\'ils suivent la procédure, ils parcourent un cycle de cette permutation. Par exemple, si la ligne du haut représente le numéro du casier, et la ligne du bas, le numéro inscrit sur le billet, alors la permutation

[tex]\\catcode`\\?=4$\\begin{pmatrix} 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 \\\\ 2 ? 7 ? 4 ? 6 ? 1 ? 3 ? 9 ? 10? 5 ? 8 \\end{pmatrix}$[/tex]

signifie que l\'élève 3 trouvera dans son casier le billet de 4 ; en allant ouvrir le casier de 4, il trouve le billet de 6, et dans le casier de 6, il trouve son propre billet. Cette permutation se symbolise aussi par

[tex]$(1 2 7 9 5)(3 4 6)(8 10) $[/tex] :

si l\'on part d\'un numéro quelconque, il faut regarder le suivant dans la liste pour savoir le numéro qui lui est associé, en convenant que si on atteint une parenthèse fermante, on revient au nombre qui suit la parenthèse ouvrante associée. Évidemment, avec cette notation, [tex]$(3 4 6) = (4 6 3) = (6 3 4)$[/tex], et c\'est aussi la succession d\'ouverture que j\'ai décrite un peu plus haut ; une telle succession de numéro, qui boucle sur elle-même, est appelé un cycle, et on peut démontrer que toute permutation se décompose sous la forme de cycles de tailles variables.

Pour en revenir à nos étudiants, un peu de réflexion permet d\'arriver à la conclusion suivante : si la longueur du cycle qui est associée à mon casier est plus petite que le nombre d\'étudiant divisé par deux, alors je parviendrai à trouver mon nom en respectant les conditions. En effet, en choisissant mon casier comme point de départ, je choisis dès le départ « mon » cycle, c\'est-à-dire celui dans lequel j\'apparais. Et le contrat est rempli si ce cycle est plus petit que 250. Pour que les étudiants puissent partir en vacances, il faut donc que tous les cycles (puisque chaque cycle est utilisé !) soient de longueurs plus petites que [tex]$n/2$[/tex] : si chacun respecte la procédure, elle sera gagnante dès que tous les cycles satisfont la propriété.

Le problème est donc transformé en la question suivante : si on se donne une permutation au hasard, quelle est la probabilité qu\'elle ne possède aucun cycle de longueur supérieure à [tex]$n/2$[/tex]. On va en fait répondre à la question complémentaire : quelle est la probabilité qu\'elle possède un cycle de taille supérieure à [tex]$n/2$[/tex].

Dans un premier temps, on s\'intéresse à la probabilité qu\'une permutation choisie au hasard contienne (au moins) un cycle de longueur [tex]$k, 1 \\leq k \\leq n$[/tex] avec [tex]$n$[/tex] pair le nombre d\'éléments. Pour cela, on commence par choisir les [tex]$k$[/tex] nombres à mettre dans le cycle ; l\'ordre de choix est important, donc on a

[tex]$ n \\times (n-1) \\times \\ldots \\times (n-k+1) = \\displaystyle \\frac{n!}{(n-k)!}$ [/tex]

possibilités. Mais il ne faut pas oublier qu\'un cycle peut s\'écrire de plusieurs manières différentes : [tex]$(3 4 6) = (4 6 3) = (6 3 4)$[/tex] sont trois écritures possibles d\'un même cycle. On a [tex]$k$[/tex] manières de choisir le nombre en première position, ce qui donne  [tex]$ \\frac{n!}{k (n-k)!}$ [/tex]. On a donc déterminé le nombre de manières de choisir un cycle de la transposition ; il y a ensuite [tex]$ (n-k)!$ [/tex] manières de réaliser une permutation des [tex]$ (n-k)$ [/tex] nombres restants. Ainsi, le nombre de permutations de [tex]$\\mathfrak{S}_n$[/tex] contenant au moins un cycle de longueur [tex]$k$[/tex] est

[tex]$ \\displaystyle \\frac{n!}{ k (n-k)!}\\times (n-k)! = \\displaystyle \\frac{n!}{ k}$ [/tex] ,

et la probabilité est simplement

[tex]$ \\displaystyle \\frac{\\frac{n!}{k}}{n!} = \\frac{1}{k}$ [/tex] .

Lorsque [tex]$k > n/2$[/tex], il ne peut évidemment y avoir qu\'au plus un cycle de longueur [tex]$k$[/tex], et les évènements considérés sont disjoints : on peut donc sommer les probabilités. La probabilité qu\'une permutation de [tex]$\\mathfrak{S}_n$[/tex] choisie au hasard ne contienne aucun cycle de longueur strictement supérieure à [tex]$n/2$[/tex] est donc (roulement de timbales) :

[tex] $ 1 - \\displaystyle \\sum_{k=n/2+1}^n \\displaystyle \\frac{1}{k} $ [/tex] .

Pour évaluer cette expression, on va se servir du développement asymptotique de la série harmonique :

[tex] $ \\displaystyle \\sum_{k=1}^n \\frac1k \\simeq \\ln(n)+\\gamma+\\frac1{2n}, \\qquad \\gamma \\simeq 0{,}577$ [/tex]

et du coup

[tex] $ 1 - \\displaystyle \\sum_{k=n/2}^n \\displaystyle \\frac{1}{k} \\simeq 1 - \\displaystyle \\sum_{k=1}^n \\displaystyle \\frac{1}{k} + \\displaystyle \\sum_{k=1}^{n/2} \\displaystyle \\frac{1}{k} = 1 - \\ln 2 + \\frac1{2n} \\simeq 0{,}3 $ [/tex] .

Ainsi, les élèves ont une chance sur trois de partir en vacances à chaque tirage, ce qui est bien supérieur au [tex]$(1/2)^{500}$[/tex] initial !

Pour ceux qui suivent toujours, une petite question subsidiaire : quelle est la probabilité qu\'il y ait un chanceux dans le lot des étudiants, c\'est-à-dire que son casier contienne directement son billet ? Réponse dans un prochain billet à paraître prochainement.

Ceci est votre premier billet. Quand vous serez prêt à bloguer, connectez-vous pour le modifier ou le supprimer.